Alguns pensamentos de Pitágoras

· Não é livre quem não consegue ter domínio sobre si.

· Todas as coisas são números.

· Aquele que fala semeia; aquele que escuta recolhe.

· Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.

· Educai as crianças e não será preciso punir os homens.

· A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.

· A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.

· Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.

Referências Bibliográficas

• http://www.suapesquisa.com/pesquisa/pitagoras.htm

Teorema de Pitágoras

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália).

Em um triângulo retângulo qualquer, trace três quadrados adjacentes a cada um dos lados, tendo cada um deles o comprimento de um lado.

O quadrado referente ao maior dos dois catetos, divida ao meio, fazendo passar uma linha paralela à hipotenusa. Em seguida, divida-o novamente ao meio fazendo passar por seu centro uma linha perpendicular à hipotenusa. O resultado será um quadrado dividido em quatro trapézios irregulares.

Estes trapézios irregulares possuem dois lados que, unidos, tem o comprimento da hipotenusa. Portanto, é possível rearranjá-los de modo a se encaixarem no quadrado ao lado da hipotenusa.

Este quadrado, assim formado, cujos lados tem o comprimento da hipotenusa, resultará na formação de um quadrado menor em seu inteiror, cujo lado será igual ao lado do quadrado criado no menor dos catetos (b = a - c).

Portanto, o quadrado da hipotenusa tem área (a hipotenusa ao quadrado) igual à soma do quadrado do cateto menor mais o quadrado do cateto maior (as áreas dos 4 trapézios formados se igualam à área do quadrado do cateto maior).


Catetos: a e b
Hipotenusa: c


O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²



Referências Bibliográficas

• http://www.exatas.com/matematica/pitagoras.html
• http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm
• http://www.suapesquisa.com/pesquisa/pitagoras.htm
  

Hiparco e o cálculo da distância Terra-Lua

Hiparco, em grego Hipparkhos, nasceu em Nicéia, foi astrónomo, construtor, cartógrafo e matemático grego da escola de Alexandria.

Ele concebeu um método simples e engenhoso para determinar a distância da Terra à Lua. O método baseia-se nas posições relativas do Sol, Terra e Lua durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exactamente entre o Sol e a Lua.

Para medir a distância da terra à Lua, Hiparco nem precisou de utilizar o diâmetro da Terra. Imaginou dois triângulos rectângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e lunar, por ocasião de um eclipse da Lua.

Hiparco considerou que a duração de um eclipse lunar era equivalente a duas vezes o ângulo d, ou seja, 2 × d = T1.

O período orbital da Lua, isto é, o tempo que ela gasta para completar uma volta inteira (360°) em torno da Terra já era conhecido. Então estabeleceu uma segunda equação, T2 = 360º. E através de uma regra de três simples determinou uma relação entre as duas equações uma vez que a única variável desconhecida era d.

Posteriormente, através do seguinte esquema:






designou o ângulo c como o semi-diâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo pelo qual vemos o disco solar. O ângulo a representa a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra.

Utilizando os estudos de trigonometria, Hiparco verificou que a + b = c + d e como a é muito pequeno, podia escrever b = c + d.

Mas Hiparco queria mesmo era o valor de X (distância da Terra à Lua). Para tal usou a seguinte razão trigonométrica, , pois bastava calcular o valor de seno b consultando as tábuas trigonométricas.

Sendo assim, faltava descobrir quantos raios da Terra existem até à Lua. Então Hiparco escreveu o resultado em função de R.

O resultado obtido foi um valor de X entre 62 e 74 vezes R. O valor real fica entre 57 e 64, mas o seu erro é admissível tendo em conta a precisão necessária nas medidas angulares.


Referências Bibliográficas

• http://www.esaas.com/grupos/matematica/estagios/Paginas/HiparcoDeNiceia.htm
• http://www.zenite.nu/

Tales e altura da pirâmide

Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego, nascido por volta do ano 640 e falecido em 550 a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor, descendente de uma família oriunda da Fenícia ou Beócia.

Tales ficou conhecido por ter medido a altura de uma pirâmide com base no comprimento de sua sombra. Ele concluiu que os raios solares chegam à Terra inclinados, partindo dessa afirmação ele conseguiu medir a altura da pirâmide da seguinte forma: Fincou uma estaca ao lado da pirâmide e observou que no instante em que o comprimento da sombra da estaca era igual à medida do comprimento da estaca, a altura da pirâmide teria o mesmo comprimento da sua sombra.

Numa representação mais simples:

Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.

Veja ilustração do Teorema de Tales:



Referências Bibliográficas

• http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm
• http://www.alunosonline.com.br/matematica/teoremas-de-tales/

Ainda sobre Eratóstenes; Fique Ligado !

Repare que o conhecimento utilizado por Eratóstenes (retas paralelas cortadas por uma transversal) é formalmente adquirido hoje nas aulas de geometria do ensino fundamental.

Fica a sugestão para a realização dessa experiência fantástica entre escolas de lugares distantes. Com as facilidades de comunicação de hoje fica ainda mais fácil sentir o prazer de usar um raciocínio tão simples e elegante para obter uma medida tão preciosa.


Referências bibliográficas

• http://www.zenite.nu/

• Costa, J. R. V. A circunferência da Terra. Tribuna de Santos, Santos, 25 jun. 2007. C. Ciência e Meio Ambiente, p. D-2. 

Eratóstenes e a circunferência da Terra

Os métodos de Eratóstenes

Eratóstenes foi o primeiro matemático da Antigüidade que encontrou a medida da circunferência da Terra com valor mais próximo do atual.
Ele foi reconhecido como um grande sábio por seus contemporâneos. Deu contribuições em vários domínios do conhecimento, distinguindo-se como astrônomo, historiador, geógrafo, filósofo e matemático.

Eratóstenes viveu no Egito entre os anos 276 e 194 a.C. Ele era bibliotecário-chefe da famosa Biblioteca de Alexandria, e foi lá que encontrou, num velho papiro, com informações que chamaram atenção dele.


 Na cidade de Siene, localizada no Egito, no dia mais longo do ano (chamado solstício de verão), ao meio-dia, uma estaca em posição vertical não projetava sombra e o reflexo do Sol podia ser visto na água, no fundo de um poço. Eratóstenes, então, fez o seguinte experimento: verificou se em Alexandria, no solstício de verão, próximo ao meio-dia, estacas verticais projetavam sombra.

O Sol está tão distante que seus raios são paralelos quando chegam à Terra.

Pelo comprimento da sombra em Alexandria, o ângulo foi medido, encontrando-se aproximadamente 7°12'.

Observando que as retas r e s eram paralelas interceptadas pela transversal t, Eratóstenes concluiu que os ângulos e eram congruentes (ângulos alternos internos).

O ângulo tem o vértice no centro da Terra e determina na circunferência da Terra o arco compreendido entre Siene e Alexandria (o arco SA). Logo, esse arco também mede 7°12'.

Como , o referido arco é igual a da circunferência da Terra.

Eratóstenes sabia que a distância entre Alexandria e Siene era de aproximadamente
800 quilômetros, porque tinha contratado um homem para medi-la em passos. Então, fazendo
50 × 800 encontrou 40.000 quilômetros, que deveria ser o comprimento da circunferência da Terra.

Referências Bibliográficas

• http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/em/matematica/erato/
• http://www.zenite.nu/
• Costa, J. R. V. A circunferência da Terra. Tribuna de Santos, Santos, 25 jun. 2007. C. Ciência e Meio Ambiente, p. D-2